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线性代数试题
课程代码：02198
试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，R（A）表示矩阵A的秩。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
A．k≠-1 B．k≠3
C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3
2．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（ ）
A．a B．a2
C．a3 D．a4
3．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（ ）
A．|AB|=|BA| B．|A+B|=|A|+|B|
C．（AB）-1=A-1B-1 D．（A+B）2=A2+2AB+B2
4．设A可逆，则下列说法错误的是（ ）
A．存在B使AB=E B．|A|≠0
C．A相似于对角阵 D．A的n个列向量线性无关
6．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
7．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ）
A．α1+α2 B．α1-α2
C．β+α1+α2 D．β+
A．-1 B．0
C．1 D．2
A．-1 B．0
C．1 D．2
10．设有实二次型f(x1,x2,x3)= ，则f（ ）
A．正定 B．负定
C．不定 D．半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=_________.
12．在五阶行列式中，项a21 a32 a45 a14 a53的符号为_________.
17．设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是_________.
18.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=_________.
19．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________.
20．二次型f(x1,x2,x3)= -2 x1x2+x2x3的矩阵是_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）
求（1）（A+2E）-1（A2-4E）
（2）（A+2E）-1（A-2E）
23．求向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14],α4=[1，-1，2，0]的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。
（1）求x;
（2）A是否相似于对角阵，为什么？
26．设二次型f(x1,x2,x3)=2 （其中a>0）可通过正交变换化为标准型 ，求参数a及所用的正交变换.
四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.
28．设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵.  |
